Overblog
Editer l'article Suivre ce blog Administration + Créer mon blog

Bonjour à tous,

En complément du précédent article de Pierre sur la divisibilité (http://pierrotdcdl.over-blog.com/2017/07/divisibilite.html), je vais aborder ici la notion de factorisation, en essayant de ne donner que les détails utiles pour notre jeu.

Factoriser un entier, c'est l'écrire comme une multiplication de plusieurs facteurs. Par exemple, 8 x 78 est une factorisation de l'entier 624, et 2 x 7 x 17 est une factorisation de l'entier 238.

Pour factoriser un entier, il faut donc commencer par en trouver un diviseur, et l'on dispose entre autres pour cela de critères de divisibilité comme présentés dans l'article de Pierre. Une fois qu'on a trouvé un diviseur, il ne reste plus qu'à diviser l'entier par le diviseur pour obtenir la factorisation correspondante. Par exemple, 8 est un diviseur de 624, et en divisant 624 par 8, on obtient la factorisation 8 x 78.

Ce procédé est évidemment très intéressant dans notre jeu, puisqu'il permet souvent de simplifier la résolution d'un compte en se ramenant à des nombres plus petits à construire. Ainsi, pour trouver 624, il suffit de construire séparément 8 et 78 (ou juste 78, pour peu qu'on dispose déjà d'un 8 !); on peut même continuer la factorisation dans ce cas, en remarquant que 78 = 6 x 13.

Le point sur lequel j'aimerais insister est le fait qu'un entier admette en général plusieurs factorisations, et qu'une factorisation peut être plus accessible qu'une autre lors de la résolution d'un compte. En guise d'illustration, intéressons-nous au compte suivant :

75 10 10 8 5 5  - 666

Les habitués reconnaîtront la divisibilité de 666 par 37. Pour ceux qui l'auraient oubliée, rappelez-vous que 37 x 3 = 111. Il s'ensuit que 666 = 37 x 18. Cela étant dit, cette factorisation semble difficile à exploiter... Par contre, en divisant 18 par 2 et en multipliant 37 par 2 pour compenser, on obtient la nouvelle factorisation 666 = 74 x 9, bien plus pratique, comme le montre cette solution :

10 / 10 = 1,

75 - 1 = 74,

5 / 5 = 1,

8 + 1 = 9,

74 x 9 = 666.

Trouver le compte par 37 x 18 est également possible mais plus difficile; saurez-vous le faire ?

Cet exemple met également en avant une manière de passer d'une factorisation à une autre : il s'agit de "transférer" un diviseur d'un facteur à un autre. Ici, on a "transféré" le diviseur 2 de 18 à 37. Répétons cette technique pour factoriser de plusieurs manières différentes 624 à partir de la factorisation 78 x 8 :

  • 39 x 16, en "transférant" le diviseur 2 de 78 à 8;
  • 26 x 24, en "transférant" le diviseur 3 de 78 à 8;
  • 13 x 48, en "transférant" le diviseur 6 de 78 à 8.

Voyons encore un autre exemple, en factorisant cette fois 924 de plusieurs manières différentes à partir de la factorisation 154 x 6 :

  • 22 x 42, en "transférant" le diviseur 7 de 154 à 6;
  • 66 x 14, en "transférant" le diviseur 3 de 42 à 22 dans la factorisation précédente.

Dans ce dernier exemple, nous avons obtenu la factorisation 66 x 14 en deux temps : on a "échangé" les diviseurs 7 et 3 de 154 et 6 respectivement.

Ne le prenez pas pour vous, je prépare mes citations pour mes futures années d'enseignement !

Jusqu'à présent, nous nous sommes essentiellement penchés sur la factorisation en 2 facteurs, mais il peut être judicieux de continuer la factorisation pour obtenir davantage de facteurs (lorsque cela est possible). Ainsi, pour reprendre la factorisation de 924 entreprise ci-dessus, on peut écrire

924 = 154 x 6 = 77 x 2 x 2 x 3 = 11 x 7 x 2 x 2 x 3.

Cette dernière factorisation est "maximale", au sens où il n'est pas possible d'obtenir plus de facteurs (les facteurs sont des nombres premiers). Toutes les factorisations de 924 se déduisent de cette factorisation "maximale", en regroupant les facteurs par paquets : par exemple,

924 = 11 x 7 x 2 x 2 x 3 = 22 x 14 x 3

où j'ai regroupé les facteurs en 3 paquets de couleurs différentes pour obtenir une factorisation en 3 facteurs. Voilà comment procéder d'une manière générale pour obtenir toutes les factorisations d'un entier. En pratique, ces opérations prennent du temps, et on pourra se satisfaire la plupart du temps d'une factorisation en 2 ou 3 facteurs, sans avoir besoin de recourir à la factorisation "maximale" évoquée précédemment. On pourra alors retenir la méthode de "transfert" des diviseurs pour passer d'une factorisation à une autre plus avantageuse.

Entraînez-vous à jongler avec les multiples factorisations d'un entier pour trouver la plus adaptée à un compte !

Pour terminer, voici quelques comptes pour vous exercer (il peut y avoir plusieurs solutions, auquel cas efforcez-vous de terminer par une multiplication pour exploiter la factorisation) :

  • 1 2 2 4 6 10 - 448
  • 2 3 4 5 6 9 - 644
  • 2 2 5 5 8 25 - 918
  • 2 3 3 6 8 8 - 850
  • 1 1 2 5 6 6 - 648
  • 2 2 5 6 7 25 - 946

Bonne journée !

Antonin

Tag(s) : #Chiffres
Partager cet article
Repost0
Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :