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Bonjour à tous,
Je vais vous parler aujourd'hui de comptes que l'on pourrait appeler, pour le jeu de mots, des comptes "hors pair" : il s'agit des comptes dont toutes les plaques sont paires mais dont le résultat à trouver est impair. En voici un exemple :
2 4 6 6 8 50 - 593
Ces comptes peuvent être particulièrement enquiquinants, dans la mesure où additionner, soustraire ou multiplier entre eux des nombres pairs ne produit que des nombres pairs... La seule façon d'espérer s'en sortir est donc d'utiliser la division ! Le but de cet article est de vous donner quelques pistes et astuces pour aborder ces comptes.
Le premier conseil que je peux vous donner, et qui vaut d'ailleurs pour tous les comptes, est le suivant : si vous bloquez, ne perdez pas trop de temps et cherchez rapidement une approche, idéalement à 1 près ou en tout cas au plus près possible; plus vite vous avez une approche, plus vous êtes tranquilles et plus de temps vous avez pour chercher une solution. Ce conseil est d'autant plus primordial, en duplicate surtout, qu'il vaut mieux perdre 1 ou 2 points en s'approchant que de paniquer et de risquer la bulle par manque de temps. S'approcher n'est généralement pas trop difficile, tout est donc une question de savoir bien gérer son temps. Peut-être n'êtes vous d'accord avec ce principe, c'est en tout cas ma façon de voir les choses. Bref, pour en revenir à nos comptes "hors pair", il m'est avis qu'il y a de bonnes chances pour qu'il n'y ait pas de solution ou bien pour que la ou les solutions soi(en)t difficile(s); dans un cas comme dans l'autre, mon conseil s'applique ! Le compte donné en préambule illustre bien mon propos : si vous n'avez pas trouvé de solution dans les temps, vous n'avez néanmoins eu aucun problème à vous approcher à 1.
Nous pouvons maintenant rentrer dans le vif du sujet : comment aborder les comptes "hors pair" ? L'élément clé, comme je vous le disais, est la division, qui est le seul moyen de produire un nombre impair à partir de nombres pairs. Selon moi, il existe deux pistes envisageables, que j'appellerai respectivement les "petites divisions" et les "grosses divisions".
La première piste consiste à effectuer une "petite division", c'est-à-dire à construire un petit nombre impair par une division, pour ensuite l'ajouter ou le soustraire en dernier lieu. Un exemple sera plus parlant :
2 4 4 6 6 100 - 589
Il est naturel de commencer par 6 x 100 = 600, il ne reste alors plus qu'à construire 11 avec les plaques restantes. Pour obtenir un nombre impair le plus directement possible, on peut effectuer soit la division 4 / 4 = 1, soit la division 6 / 2 = 3. Cela conduit à deux solutions différentes :
6 x 100 = 600,
4 / 4 = 1,
2 x 6 = 12,
12 - 1 = 11,
600 - 11 = 589,
ou bien
6 x 100 = 600,
6 / 2 = 3,
4 + 4 + 3 = 11,
600 - 11 = 589.
De manière plus indirecte, plutôt que de construire 11, pourquoi ne pas essayer d'en construire un multiple, par exemple 2 x 11 = 22, tout en se gardant le 2 sous le coude ? L'intérêt est que 22 est pair, donc peut potentiellement s'obtenir plus facilement avec les opérations usuelles, et en effet :
6 x 100 = 600,
4 x 4 = 16,
16 + 6 = 22,
22 / 2 = 11,
600 - 11 = 589.
Au lieu de commencer par 6 x 100 = 600, on peut aussi distribuer pour s'approcher davantage de 589 d'entrée de jeu : en effectuant 6 x (100 - 2) = 588, on arrive déjà à 1 près. Rajouter le 1 manquant n'est pas une difficulté :
100 - 2 = 98,
98 x 6 = 588,
4 / 4 = 1,
588 + 1 = 589.
C'est l'occasion de rabâcher une fois n'est pas coutume à quel point la distributivité est utile !
Voilà toutes les solutions pour obtenir ce 589. Enfin non, ce n'est pas vrai, il en existe une dernière, beaucoup plus acrobatique, par une "grosse division" dont nous aller parler dans la suite... Vous pourrez essayer de la chercher si cela vous amuse (personnellement, cela m'amuse !), mais vous conviendrez que les solutions ci-dessus sont déjà bien assez abordables.
J'espère qu'à présent, vous comprenez bien le principe des "petites divisions" !
La seconde piste, plus technique, consiste à effectuer une "grosse division", et repose sur l'idée suivante, déjà évoquée précédemment (ce n'était d'ailleurs pas un hasard) : plutôt que de construire un nombre impair A, pourquoi ne pas essayer d'en construire un multiple pair, comme 2 x A voire 4 x A, tout en se gardant un 2 ou un 4 respectivement sous le coude ? Un tel multiple a potentiellement plus de chances d'être accessible, mais il ne faut pas avoir peur de monter haut dans les calculs.
Voyons comment appliquer ce principe au compte donné en préambule, que je rappelle ci-dessous :
2 4 6 6 8 50 - 593
Nous disposons justement d'un 2, il s'agit donc d'essayer de résoudre le compte annexe suivant :
4 6 6 8 50 - 1186
On part naturellement sur la base de 1200 = 50 x 24 = 50 x 4 x 6, et comme par miracle, il nous reste 6 et 8 à retrancher ! En définitive, voici la solution obtenue au compte de départ :
4 x 6 = 24,
24 x 50 = 1200,
1200 - 6 - 8 = 1186,
1186 / 2 = 593.
Ce n'était pas si terrible, vous ne trouvez pas ?
Voici un autre exemple :
2 2 4 8 10 100 - 285
Comme précédemment, voyons ce que donne le compte annexe suivant, après multiplication par 2 :
2 4 8 10 100 - 570
Quelques instants de réflexion suffiront probablement à vous convaincre que ce nouveau compte n'est pas tellement mieux... La faute à ce 570 = 57 x 10, où 57 est toujours un nombre impair. On aurait bien envie de partir sur la base de 600 ou de la divisibilité par 10, mais l'un comme l'autre semblent impossible. Ni une, ni 2 (!), nous décidons alors de multiplier non plus par 2, mais par 4, ce qui revient à s'intéresser à ce second compte annexe :
2 2 8 10 100 - 1140
Cette fois, la divisibilité par 10 semble bien plus prometteuse, car 114 est pair, et de plus proche de 100 ! Il s'agit donc d'ajouter 14 à 100. Bingo ! Voici la solution :
2 x 8 = 16,
16 - 2 = 14,
100 + 14 = 114,
114 x 10 = 1140,
1140 / 4 = 285.
J'espère vous avoir convaincu que de tels comptes ne sont pas nécessairement si difficiles, une fois qu'on a bien décortiqué le cheminement pour les atteindre. Encore faut-il avoir le bon réflexe et la rapidité de calcul, là est certainement toute la difficulté, mais cela ne s'acquiert qu'avec l'entraînement.
Pour résoudre les comptes "hors pair", je préconise de commencer par rechercher une "petite division", il est possible qu'une solution s'obtienne sans trop de difficulté de cette manière. Sinon, il se peut qu'il faille recourir à une "grosse division", potentiellement plus difficile, ou en tout cas s'approcher le plus possible du résultat, ce qui a aussi de bonnes chances de suffire. Je pense qu'avec les "petites divisions" et les approches, vous avez déjà de quoi vous en tirer !
J'ajouterai une remarque : pour les comptes dont la plupart des plaques sont paires (pas forcément toutes) et dont le résultat à trouver est impair, je vous conseille de faire attention à ne pas "griller" trop vite la ou les plaque(s) impair(s) (notamment en les multipliant par des nombres pairs, ce qui a pour effet de perdre l'imparité), sous peine de vous retrouver coincé comme pour un compte "hors pair" ! Par exemple, s'il n'y a qu'une seule plaque impaire, il peut être judicieux de la garder pour l'ajouter ou la soustraire en dernier lieu, comme expliqué dans la méthode des "petites divisions".
Pour terminer, je vous laisse quelques comptes en exercices :
- 2 2 4 4 10 50 - 793
- 2 4 4 6 10 50 - 989
- 2 2 4 6 6 100 - 227
- 4 4 6 6 10 100 - 285
- 2 4 6 8 10 10 - 445
- 6 6 8 10 10 100 - 775
- 2 4 6 8 10 25 - 513 (en lien avec ma dernière remarque)
Je vous invite également à m'écrire un commentaire si vous souhaitez des précisions ou des explications complémentaires, ou même pour toute autre chose que vous auriez envie de partager !
Bonne journée, et ne commettez plus d'impair !
Antonin