DIVISIBILITÉ

Rappel pour savoir si un nombre est divisible.

Prenons un nombre à 3 chiffres ABC.

Si C est pair, alors ABC est divisible par 2 (ex. 754, 396, 178)

Si la somme de A+B+C est divisible par 3, alors ABC est divisible par 3 (ex. 771, 7+7+1=15, 15 est divisible par 3, donc 771 est divisible par 3).

Si BC est divisible par 4, alors ABC est divisible par 4 (ex. 996 est divisible par 4 car 96/4=24).

Si C est un 0 ou un 5, alors ABC est divisible par 5 (ex. 910, 835, 695).

Si ABC est divisible par 3 et que C est pair, ABC est divisible par 6 (ex. 924, 534).

Si (Ax2)+BC est divisible par 7, alors ABC est divisible par 7 (ex. 931: (2x9)+31=18+31=49, 49 est divisible par 7, donc 931 est divisible par 7).

Si la somme A+B+C est divisible par 9, alors ABC est divisible par 9 (ex. 576, 5+6+7=18, 18 est divisible par 9, donc 576 est divisible par 9).

Si C est un 0, alors ABC est divisible par 10 (ex. 470, 930).

Si A+C=B, alors ABC est divisible par 11 (ex. 451, 4+1=5 donc 451 est divisible par 11).

Si A+C= 11+B, alors ABC est divisible par 11 (ex. 825, 8+5=11+2, donc 825 est divisible par 11). 

Pour le reste , je ne connais pas les règles à partir de 13, je les trouve trop compliquées.Mais vous pouvez les ajouter en commentaires avec grand plaisir.

Je vous joins le tableau du produit des nombres premiers, qui rend parfois de bons services. J'aime bien par exemple 13x17=221, qui permet de grimper facilement à 442, 663, 884.

Bonne journée à tous.

Pierrotb

Comments

[Antonin]

En tant que puriste, je me dois de mentionner le fait que la définition de nombre premier donnée par le premier tableau est incorrecte. En effet, conformément à cette définition, 1 est premier, ce qui n'est pas le cas. Une définition correcte serait "un nombre est premier s'il admet exactement 2 diviseurs: 1 et lui-même", ce qui permet d'exclure 1 (qui n'a qu'un seul diviseur donc). L'erreur est courante et conduit parfois certains à penser à tort que 1 est premier.

Du reste, les critères de divisibilité par un nombre premier ne sortent pas de nulle part et ont une explication tout à fait mathématique. En fait, il existe une méthode systématique pour construire un critère de divisibilité pour chaque nombre premier. Sans trop m'étendre sur les détails, je vais plutôt reprendre les exemples qui ont été donnés.

Pour 7, si AB-2C est divisible par 7 alors ABC est divisible par 7. Normalement, c'est le chiffre des unités C qu'on sépare du reste AB, car la formule 2A+BC ne se généralise pas à un nombre à 4 chiffres. Par exemple, pour 3241, 3*2+241=247 n'est pas divisible par 7 alors que 3241 l'est; par contre, 324-2*1=322 est bien divisible par 7. Bien sûr, pour le jeu c'est bon puisque tous les nombres à trouver sont à 3 chiffres. Bref, le -2 de la formule AB-2C est le même -2 que dans l'égalité 3*7-2*10=1. Il s'agit de trouver deux entiers U et V tels que 7U+10V=1, donc ici, U=3 et V=-2 conviennent.

Pour 11, on a 11*1-1*10=1, donc on regarde AB-C. Exemple : pour 858, 85-8=77.

Pour 13, on a -3*13+4*10=1, donc on regarde AB+4C. Exemple : pour 221, 22+4*1=26.

Pour 17, on a 3*17-5*10=1, donc on regarde AB-5C. Exemple : pour 799, 79-5*9=34.

Pour 19, on a -1*19+2*10=1, donc on regarde AB+2C. Exemple : pour 437, 43+2*7=57.

Pour 29, on a -1*29+3*10=1, donc on regarde AB+3C. Exemple : pour 493, 49+3*3=58.

J'espère que c'est clair et que je n'ai donné le mal de crâne à personne... Je vous prie d'excuser un matheux qui se laisse aller. En pratique, ces critères sont difficilement utilisables pendant la durée de réflexion d'un compte selon moi, et il vaut mieux chercher plutôt à "tâtonner", comme dirait l'autre, si on cherche la divisibilité par 13 par exemple.

Merci pour la table des produits de nombres premiers Pierre, je me dis souvent que je devrais les connaître car cela pourrait occasionnellement se révéler très utile.

[Gonga]

Certes, mais on peut toutefois toujours généraliser le critères des nombres de 3 chiffres à tout nombre Abc où A est un nombre de centaines. Par exemple pour 3241 : 41 + 2.32 = 105, divisible par 7...

[brunod]

Pour les critères de divisibilité , Stéphane Thiéry m'avait expliqué une méthode qui marche pour tous les nombres (on compare un multiple du nombre à 100) mais comme dit Antonin elle est à mon avis difficile à mettre en œuvre en 40s

[brunod]

Les sauts de ligne se mettent dans un deuxième temps Antonin

[Antonin]

(Mes sauts de ligne n'ont pas été pris en compte dans mon commentaire...)

[jean-jacques foury]

Divisibilité par 8 :
Si A est pair, il faut que BC soit divisible par 8 (ex : 208)
S A est impair, il faut que BC soit divisible par 4 mais non par 8 (ex : 104 divisible par 8, mais 108 non divisible par 8)

[bl]

Pour la divisibilité par 8 ,
si A est impair , je préfère cette astuce plus rapide:
il faut que 100 - BC soit divisible par 8 (ex: 104 est divisible par 8 car 96 [100-4=96] est divisible par 8)
le "divisible par 4 mais non par 8" oblige à réfléchir à 2 conditions donc plus long.

[Frédéric]

En reprenant ta formule ABC,
Divisibilité par 13 : Si BC - 4A donne un multiple de 13, alors ABC est divisible par 13.
Je reprends ton exemple de 221
21 (BC) - 4*2 (4*A) = 21-8 = 13
Et 221 = 13*17.
Le principe de la divisibilité par 17 est le même en doublant le chiffre des centaines au lieu de le quadrupler.
Toujours 221 : BC-2A doit être multiple de 17.
21-2*2 = 21-4=17
221 = 17*13
Celle que je préfère est la divisibilité par 19 parce que la solution est dans la résolution de la divisibilité :
Prenons 437 : on le divise par 20.
Cela fait 21 avec un reste = à 17
On cumule le résultat (quotient) avec le reste : 21+17 = 38 soit 2*19
437 est divisible par 19 et la solution est 21+2 (les deux fois 19) soit 23*19.
A contrario des divisibilités par 13 et 17 pas besoin d'être bon en calcul mental.
Il faut quand même une bonne vingtaine de secondes pour passer en revue toutes les divisibilités et manque de chance, la solution n'est pas toujours applicable.

[pierrotb]

Merci Frédéric pour ces excellentes précisions.