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Bonjour à tous,
Je vous ai présenté la dernière fois une méthode permettant de calculer un carré parfait, c'est-à-dire de multiplier deux nombres identiques. Je souhaiterais à présent aborder la multiplication dans un cadre plus général. À cet effet, je vais vous proposer deux façons différentes de procéder, que j'appellerai la distributivité et la factorisation, chacune d'entre elles pouvant s'avérer plus utile que l'autre selon le contexte. Pour cette fois-ci, il sera question de distributivité; la factorisation fera quant à elle l'objet d'un futur second article.
La plupart d'entre vous savent déjà ce qu'est la distributivité; si tel n'est pas le cas, je vous invite une fois encore à revoir l'article de Pierre sur le sujet (http://pierrotdcdl.over-blog.com/2017/07/la-distributivite.html). En bref, la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction se résument aux deux identités suivantes, où k, a et b désignent des nombres (entiers) :
k x (a + b) = k x a + k x b
k x (a - b) = k x a - k x b.
Cette propriété est très utile pour la résolution des comptes comme vous l'explique Pierre. Voyons comment en tirer également profit pour calculer simplement une multiplication.
Prenons pour exemple le calcul de 51 x 19. En décomposant 51 en 50 + 1, on obtient par distributivité
51 x 19 = (50 + 1) x 19 = 50 x 19 + 1 x 19 = 950 + 19 = 969.
On s'est donc ramenés à deux multiplications très simples, 50 x 19 et 1 x 19. En général, on peut décomposer tout nombre de la sorte, pour se ramener à des multiplications plus simples. C'est d'ailleurs comme cela que l'on apprend (normalement) la multiplication à l'école primaire, en la posant comme sur l'illustration ci-dessous !
D'autres exemples :
17 x 38 = (10 + 7) x 38 = 10 x 38 + 7 x 38 = 380 + 266 = 646
43 x 31 = 43 x (30 + 1) = 43 x 30 + 43 x 1 = 1290 + 43 = 1333
15 x 35 = 15 x (30 + 5) = 15 x 30 + 15 x 5 = 450 + 75 = 525.
Cela dit, il peut être intéressant de décomposer autrement, le but étant de se ramener à des multiplications (et des additions/soustractions) les plus simples possibles. Par exemple, pour calculer 29 x 19, au lieu de décomposer 29 en 20 + 9, on le décompose en 30 - 1, et on obtient
29 x 19 = (30 - 1) x 19 = 30 x 19 - 1 x 19 = 570 - 19 = 551.
De la même manière, comme nous sommes habitués à la table des 25, il est tout à fait adéquat, pour calculer 26 x 23, de décomposer 26 en 25 + 1 :
26 x 23 = (25 + 1) x 23 = 25 x 23 + 1 x 23 = 575 + 23 = 598.
À vous de décomposer de la manière qui vous convient le mieux pour distribuer !
En guise d'exercice, vous pourrez essayer de calculer les multiplications suivantes :
- 12 x 17
- 21 x 31
- 19 x 19 (comparez avec la précédente méthode pour les carrés parfaits !)
- 23 x 28
- 38 x 67.
Bonne journée !
Antonin